شماره فیبوناچی

با . در نتیجه تعریف (1) ، تعریف معمولی است.

اعداد فیبوناچی برای ، 2 ،. 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ،.(OEIS A000045).

اعداد فیبوناچی را می توان به عنوان یک مورد خاص از چند جمله ای فیبوناچی با آن مشاهده کرد.

اعداد فیبوناچی به زبان Wolfram به عنوان اجرا می شوندفیبوناچی[n]

اعداد فیبوناچی نیز یک توالی لوکاس هستند و همراهان شماره های لوکاس هستند (که همان معادله عود را برآورده می کنند).

کارتون فوق (اصلاح 2005) یک برنامه ورزشی غیر متعارف از شماره های فیبوناچی (دو صفحه سمت چپ) را نشان می دهد.(در عوض ، پانل سمت راست توالی پرین را اعمال می کند).

نسخه 13 ، 3 ، 2 ، 21 ، 1 ، 1 ، 8 ، 5 (OEIS A117540) از هشت شماره اول فیبوناچی به عنوان یکی از سرنخ های باقی مانده توسط جیک سونیر ، مدیر موزه قاتل در رمان D. Brown "Da Vinci Code" ظاهر می شود.(براون 2003 ، صص 43 ، 60-61 و 189-192). در قسمت 1 قسمت "خرابکاری" (2005) درام جنایات تلویزیونی numb3rs ، نبوغ ریاضی چارلی اپپس خاطرنشان می کند که اعداد فیبوناچی در ساختار کریستال ها و مارپیچ کهکشان ها و یک پوسته ناتیلوس یافت می شود. در قسمت 4 قسمت "شاهکار" (2008) درام جرم CBS-TV "ذهن جنایی" ، عوامل واحد تحلیل رفتاری FBI با یک قاتل سریالی روبرو می شوند که از توالی فیبوناچی استفاده می کند تا تعداد قربانیان را برای هر یک تعیین کنداز قسمت های قتل او. در این قسمت ، شخصیت دکتر رید همچنین متوجه می شود که مکان های این قتل ها بر روی نمودار یک مارپیچ طلایی قرار دارد و رفتن به مرکز مارپیچ به رید اجازه می دهد تا محل پایگاه عملیات قاتل را تعیین کند.

طرح فوق 511 اصطلاح اول دنباله فیبوناچی را که در باینری نشان داده شده است نشان می دهد و الگوی جالب مثلث های توخالی و پر شده را نشان می دهد (Pegg 2003). یک سری مثلث سفید مانند فراکتال در لبه پایین ظاهر می شود ، به دلیل این واقعیت که بازنمایی باینری انتهای در صفرها. بسیاری از خصوصیات مشابه دیگر وجود دارد.

شماره های فیبوناچی تعداد جفت خرگوش ها ماهها پس از شروع یک جفت واحد تولید می کند (و فرض بر این است که بنهای تازه متولد شده از زمان دو ماهه ، پرورش می دهند) ، همانطور که برای اولین بار توسط لئوناردو از پیزا (همچنین به عنوان فیبوناچی نیز شناخته می شود) در خود توصیف می کند. کتاب Liber Abaci. کپلر همچنین شماره های فیبوناچی را توصیف کرد (کپلر 1966 ؛ ولز 1986 ، صص 61-62 و 65). قبل از اینکه فیبوناچی کار خود را نوشت ، شماره های فیبوناچی قبلاً توسط محققان هندی مانند گوپلا (قبل از سال 1135) و هماچاندرا (حدود 1150) مورد بحث قرار گرفته بود که مدت ها به الگوهای ریتمیک علاقه مند بودند که از یادداشت های یک ضرب و شتم و دو ضرب و شتم تشکیل شده اند. یا هجاتعداد چنین ریتمی هایی که دارای ضرب و شتم در کل هستند ، و از این رو این دانشمندان هر دو شماره 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 را ذکر کرده اند. صریحاً (نات 1997 ، ص 80).

تعداد فیبوناچی کمتر از 10 ، ، ،. 6 ، 11 ، 16 ، 20 ، 25 ، 30 ، 35 ، 39 ، 44 ،.(OEIS A072353). برای 2، . تعداد رقم اعشاری در 2 ، 21 ، 209 ، 2090 ، 20899 ، 208988 ، 2089877 ، 20898764 ،.(OEIS A068070). همانطور که مشاهده می شود ، رشته های اولیه ارقام برای تولید شماره 208987640249978733769 حل می شوند. این از این واقعیت ناشی می شود که برای هر عملکرد قدرت ، تعداد رقم اعشاری برای آن داده شده است.

شماره های فیبوناچی ، برای 12 ، 18 ، 24 ، 25 ، 30 ، 36 ، 42 ، 48 ، 50 ، 54 ، 56 ، 60 ، 66 ، 66 ،372 ، 375 ، 378 ، 384 ،.(OEIS A037917) و SquareFree برای ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، 11 ، 13 ،.(OEIS A037918). و برای همه ، و حداقل یک مورد وجود دارد. هیچ شماره فیبوناچی مربعی با Prime شناخته نشده است.

نسبت اعداد فیبوناچی پی در پی به نسبت طلایی به عنوان رویکرد بی نهایت نزدیک می شود ، همانطور که برای اولین بار توسط ریاضیدان اسکاتلندی رابرت سیمسون در سال 1753 اثبات شد (ولز 1986 ، ص 62). نسبت اعداد فیبوناچی متناوب توسط همگرایی ها به آن نسبت طلایی داده می شود ، و گفته می شود که کسری از نوبت بین برگهای پی در پی روی ساقه یک گیاه (phyllotaxis) را اندازه گیری می کند: برای Elm و Linden ، 1/3برای راش و هازل ، 2/5 برای بلوط و سیب ، 3/8 برای صنوبر و رز ، 5/13 برای بید و بادام و غیره (Coxeter 1969 ، Ball and Coxeter 1987). اعداد فیبوناچی گاهی اوقات شماره های مخروطی کاج نامیده می شوند (پاپاس 1989 ، ص 224). نقش اعداد فیبوناچی در گیاه شناسی گاهی اوقات قانون لودویگ نامیده می شود (Szymkiewicz 1928 ؛ Wells 1986 ، ص 66 ؛ Steinhaus 1999 ، ص 299). با این حال ، گیاه شناسی کوک در ایجاد همبستگی بین گیاه شناسی و دنباله فیبوناچی احتیاط می کند (پترسون 2006).

بنابراین فرم بسته برای

ریشه های کجا و هستند. در اینجا ، بنابراین معادله می شود

بنابراین فرم بسته توسط

این به عنوان فرمول شماره فیبوناچی بینه شناخته می شود (ولز 1986 ، ص 62). یک شکل بسته دیگر است

نزدیکترین عملکرد عدد صحیح است (ولز 1986 ، ص 62).

با استفاده از معادله (7) ، تعریف می تواند با توجه به اعداد صحیح منفی گسترش یابد

به طور کلی ، شماره های فیبوناچی می توانند از طریق یک عدد واقعی گسترش یابد

همانطور که در بالا ترسیم شد.

عملکرد فیبوناچی دارای صفرهای AT و تعداد نامتناهی از مقادیر منفی است که برای همه عدد صحیح منفی ، که توسط راه حل ها ارائه می شود

نسبت طلایی کجاست. چند ریشه اول 0 ، (OEIS A089260) ، ، ، ،.

رابطه عود دیگر برای اعداد فیبوناچی است

عملکرد کف کجاست و نسبت طلایی است. این عبارت از رابطه عود عمومی تر دنبال می شود

برای .(مورد به صورت بی اهمیت است ، در حالی که پرونده اساساً هویت کاسینی است و بنابراین برابر است.)

یک هویت تعیین کننده جالب دیگر از تعریف ماتریس با صفرها در همه جا به جز و برای (یعنی در امتداد superdiagonal و subdiagonal) دنبال می شود. سپس

عملکرد تولید برای اعداد فیبوناچی است

با وصل کردن ، این به درخت اضافی کنجکاو نشان داده شده در بالا ،

(Livio 2002 ، صص 106-107).

یوری ماتیاازویچ (1970) نشان داد که یک چند جمله ای در ، و تعدادی از متغیرهای دیگر وجود دارد ، ،. داشتن اموالی که iff وجود دارد اعداد صحیح ، ، ،. به طوری که . این امر منجر به اثبات عدم امکان دهم مشکلات هیلبرت (آیا روش کلی برای حل معادلات دیوفانتین وجود دارد؟) توسط جولیا رابینسون و مارتین دیویس در سال 1970 (رید 1997 ، ص 107).

شماره Fibonacci تعداد روش های Dominoes را برای پوشاندن یک تخته چک ، همانطور که در نمودارهای فوق نشان داده شده است (Dickau) نشان می دهد.

تعداد روش های انتخاب یک مجموعه (از جمله مجموعه خالی) از اعداد 1 ، 2 ،. بدون انتخاب دو شماره متوالی است. تعداد روش های انتخاب یک مجموعه (از جمله مجموعه خالی) از اعداد 1 ، 2 ،. بدون انتخاب دو شماره متوالی (جایی که 1 و اکنون متوالی هستند) است ، شماره لوکاس کجاست.

احتمال عدم گرفتن دو سر در یک ردیف در پرتاب یک سکه است (هونبرگر 1985 ، صص 120-122). اعداد فیبوناچی همچنین به تعداد روش هایی که می توان سکه های سکه را می توان به گونه ای انجام داد ، به گونه ای که سه سر یا دم متوالی وجود ندارد. تعداد ایده آل های یک حصار حصار یک شماره فیبوناچی است.

با توجه به یک شبکه مقاومت از مقاومت 1- ، هر یک به صورت تدریجی به صورت سری یا به موازات مقاومتهای قبلی متصل می شوند ، سپس مقاومت خالص یک عدد منطقی است که حداکثر مخرج ممکن است.

اعداد فیبوناچی از نظر چند جمله ای چبیشو از نوع دوم توسط

هویت جمع شامل

تعدادی از هویت های جبر زیبا خاص وجود دارد که شامل شماره های فیبوناچی است ، از جمله

گاهی اوقات نیز فرمول سیمسون نیز خوانده می شود زیرا توسط سیمسون نیز کشف شد (Coxeter and Greitzer 1967 ، p. 41 ؛ Coxeter 1969 ، pp. 165-168 ؛ Petkovšek et al. 1996 ، p. 12).

جانسون (2003) هویت بسیار کلی می دهد

که دارای اعداد صحیح دلخواه ، ، ، ، و با و بسیاری از هویت های دیگر به عنوان موارد خاص است.

اعداد فیبوناچی از فرمول نفی پیروی می کنند

فرمول اضافی

شماره لوکاس کجاست ، فرمول تفریق

هویت اساسی

(جایی که (48) فقط برای آن وجود دارد) ، پسوند

(A. Mihailovs ، Pers. Comm. ، 24 ژانویه 2003) ، گسترش محصول

و گسترش قدرت

هونبرگر (1985 ، ص 107) روابط عمومی را ارائه می دهد

در مورد ، سپس و برای عجیب و غریب ،

اجازه می دهد هویت ها را ارائه دهد

فرمول های جمع برای

(ولز 1986 ، ص 63) ، دومی نشان می دهد که مورب های کم عمق "مبلغ مثلث پاسکال به شماره های فیبوناچی (پاپاس 1989). هویت های اضافی را می توان در سراسر مجله سه ماهه فیبوناچی یافت. لیستی از 47 هویت عمومی داده شده استتوسط هالتون (1965).

(هونبرگر 1985 ، صص 111-113). یک هویت قابل توجه است

(هونبرگر 1985 ، صص 118-119) ، که می تواند به آن تعمیم یابد

(جانسون 2003). همچنین درست است که

برای حتی (فریتاگ 1996).

از (◇) ، نسبت اصطلاحات متوالی است

که فقط اولین اصطلاحات ادامه کسری برای نسبت طلایی است. از این رو،

یکی دیگر از ارتباطات جذاب با نسبت طلایی توسط این سریال ارائه شده است

گای (1990) این واقعیت کنجکاوی را که برای ، 1 ، ذکر می کند. می دهد 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، 34 ، 55 ،. اما پس از آن 91 ، 149 ادامه می یابد.(OEIS A005181).

گرفتن محصول اولین شماره های فیبوناچی و اضافه کردن 1 برای ، 2 ،. دنباله 2 ، 2 ، 3 ، 7 ، 31 ، 241 ،.(OEIS A052449). از این موارد ، 2 ، 2 ، 3 ، 7 ، 31 ، 241 ، 3121 ،.(OEIS A053413) اصلی هستند ، یعنی اصطلاحات 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 22 ، 28 ،.(OEIS A053408).

توالی رقم های نهایی در اعداد فیبوناچی در چرخه های 60 تکرار می شود. دو رقم آخر در 300 تکرار می شود ، سه مورد آخر در 1500 ، چهار مورد آخر و غیره. تعداد اعداد فیبوناچی بین و 1 یا 2 است (ولز 1986، ص 65).

Cesàro مبالغ محدود را به دست آورد

(هونبرگر 1985 ، صص 109-110). اعداد فیبوناچی عود قدرت را برآورده می کنند

ضریب فیبونومی ، مبلغ متقابل است

تجزیه کسری جزئی

و فرمول جمع بندی

مبالغ بی نهایت شامل

نسبت طلایی کجاست (ولز 1986 ، ص 65).

برای ، IFF (ولز 1986 ، ص 65). IFF به تعداد بار عجیب و غریب تقسیم می شود.(مایکل 1964 ؛ هونبرگر 1985 ، صص 131-132). هیچ شماره فیبوناچی عجیب و غریب توسط 17 قابل تقسیم نیست (هونبرگر 1985 ، صص 132 و 242). هیچ شماره فیبوناچی تاکنون به شکل یا شماره اصلی نیست (Honsberger 1985 ، p. 133).

جمع را در نظر بگیرید

(Honsberger 1985, pp. 134-135). با استفاده از فرمول عدد فیبوناچی بینه، آن را نیز دنبال می کند

(Honsberger 1985, pp. 138 and 242-243). سریال Millin دارای مجموع است

(Honsberger 1985, pp. 135-137).

اعداد فیبوناچی کامل هستند. در واقع، انداختن یک عدد همچنان یک توالی کامل باقی می‌گذارد، اگرچه حذف دو عدد اینطور نیست (Honsberger 1985, pp. 123 و 126). با حذف دو عبارت از اعداد فیبوناچی، دنباله ای تولید می شود که حتی به طور ضعیفی کامل نیست (Honsberger 1985, p. 128). با این حال، دنباله

ضعیف کامل است، حتی با حذف هر دنباله ای محدود (گراهام 1964). کامل نیست، اما هستند. کپی های کامل هستند

برای بحث در مورد اعداد فیبوناچی مربع، به Cohn (1964ab) مراجعه کنید، که ثابت کرد تنها اعداد فیبوناچی 1 و اعداد مربع هستند (Cohn 1964ab, Guy 1994). مینگ (1989) ثابت کرد که تنها اعداد فیبوناچی مثلثی 1، 3، 21 و 55 هستند. اعداد فیبوناچی و لوکاس هیچ عبارت مشترکی به جز 1 و 3 ندارند. تنها اعداد فیبوناچی مکعبی 1 و 8 هستند.

سه گانه فیثاغورثی است، همانطور که اولین بار توسط Raine کشف شد (Livio 2002, p. 107).

همیشه یک عدد مربع است (Honsberger 1985, p. 243).

در سال 1975، جیمز پی جونز نشان داد که اعداد فیبوناچی، مقادیر صحیح مثبت چند جمله ای هستند.

برای اعداد صحیح گاوسی و (Le Lionnais 1983). اگر و دو عدد صحیح مثبت باشند، آنگاه بین و، هرگز نمی‌تواند بیش از اعداد فیبوناچی رخ دهد (Honsberger 1985, pp. 104-105).

اعداد فیبوناچی هویت را برآورده می کند

دنباله اعداد فیبوناچی مدول تناوبی هر مدول است (وال 1960). این دوره ها به عنوان دوره های پیزانو (آچار 1969) شناخته می شوند. مدول اعداد فیبوناچی برای کوچک به همراه دوره های پیزانو در زیر جدول بندی شده است.